...ואף מילה על רנורמליזציה

רשומה זו עוסקת בסכימה של טורים מתבדרים, מה שעלול לעורר אצל קורא פדנט בּוּקָה וּמְבוּקָה וּמְבֻלָּקָה וְלֵב נָמֵס וּפִק בִּרְכַּיִם וְחַלְחָלָה בְּכָל-מָתְנַיִם (ספר נחום פרק ב' פסוק י"א); ואף על פי כן, שווה קריאה...

מהו לדעתכם סכומו של הטור האינסופי \(1+10+100+1000+\cdots\)? ובכן, ברור ומוסכם על כל בר דעת שהטור מתבדר. ומה כבר יכול להיות? והרי האיברים הולכים וגדלים, כל אחד גדול פי עשרה מקודמו... הבה נראה:

נרשום \(S=1+10+100+1000+\cdots\) ונקבל:

\begin{aligned}S&\,=\,1+10+100+1000+\cdots\\&\,=\,1+10\times\left(1+10+100+\cdots\right)\\&\,=\,1+10S\end{aligned}

קיבלנו משוואה פשוטה ב-\(S\), היינו \(S=1+10S\), ולה שני פתרונות אפשריים: האחד, המובן מאליו, \(S\) הוא טור מתבדר כך שהמשוואה מבטאת את הזהות המעורפלת \(\infty=\infty\), ואילו השני... ובכן הפיתרון השני הוא  \(S=-1/9\). לא פחות ולא יותר...

קל להיווכח ששימוש חוזר בחוק הפילוג מוביל לאותה תוצאה בדיוק. כך למשל, שתי איטרציות תנפקנה את המשוואה \(S=1+10\times(1+10S)\) עם אותו שורש בדיוק: \(S=-1/9\). מה לא בסדר בפתרון השני שלנו? ובכן, הרהבנו עוז והשתמשנו בחוק הפילוג עבור טור אינסופי היכן שלכאורה אין לכך כל הצדקה, היות ומשמעותו של החוק לגבי סכום אינסופי של איברים כלל איננה ברורה.

שימוש לא זהיר בחוקים האריתמטיים עלול להוביל לכמעט כל תוצאה שנחפוץ ואף לסתירות ברורות. הנה דוגמא מוכרת מאוד לכך:

\begin{aligned}0&\,=\,0+0+0+\cdots\\&\,=\,\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\cdots\\&\,=\,1+\left(-1+1\right)+\left(-1+1\right)+\left(-1+1\right)+\cdots\\&\,=\,1+0+0+0+\cdots\\&\,=\,1\,.\end{aligned}

כמובן שעם אבסורדים מהסוג הזה לא נוכל להשלים. מקורו של האבסורד שקיבלנו הוא שימוש אסור בחוק האסוציאטיבי במקרה שמדובר בטורים שאינם מתכנסים בהחלט ובאמת, הטור שאת סדר סכימתו שינינו אינו מתכנס בהחלט (מן הסתם, הטור מתבדר).

אבל האם גם הטענה ש- \(1+10+100+1000+\cdots=-1/9\) היא סוג של אבסורד? ובכן, ככל הנראה, וככל שידיעתי מגעת, התשובה היא *לא*, בהחלט לא, ועל כך נסובה רשומה זו.

נתבונן בפונקציה \(f(x)=1/(1-x)\). הפיתוח לטור חזקות של פונקציה זו סביב הנקודה \(x_{0}=0\) ניתן ע"י:

\begin{aligned}\frac{1}{1-x}&\,=\,1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\\&\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\end{aligned}

במקרה זה רדיוס ההתכנסות של טור החזקות שבאגף ימין הוא \(x<1\) ומשמעות הדבר היא שרק עבור נקודות בתוך רדיוס ההתכנסות מתלכד ערך הטור מימין עם ערך הפונקציה משמאל. ואולם ברצוננו, נוכל להציג בטור החזקות ערך כלשהו הנמצא מחוץ לרדיוס ההתכנסות, \(x=10\) למשל, ואז לשייך לטור מספר מיוחד באמצעות הצבה של אותו ערך בפונקציה המופיעה באגף שמאל. מספר זה יכונה מעתה סכום-E של הטור (על שם אוילר, אם אינני טועה), והפונקציה ממנה התקבל הטור תכונה הפונקציה היוצרת. וכך, עבור הבחירה \(x=10\) נקבל את התוצאה  \(1+10+100+\cdots=-1/9\).

שימו לב שלא מדובר בשוויון במובן המקובל, כמו למשל במשוואה \(a=b\). נוכל לכנות את השוויון החדש בשם "שוויון-E" אבל אנו נמנע מלציין זאת במפורש והדבר יובן מתוך הקונטקסט. האם יש איזשהו ערך לשוויון הזה? בהמשך אטען שלטבע יש לשאלה זו תשובה נחרצת משלו... שימו לב שעבור הערך המיוחד \(x=1\) לא נוכל לשייך לטור המתקבל סכום-E כלשהו כיוון ש- \(x=1\) הוא הקוטב של הפונקציה היוצרת; לכן הטור \(1+1+1+\cdots\) אינו ניתן לסכימה בסכמה המוצעת.

באופן כללי, דבר לא מונע מאיתנו לשייך לטור כלשהו מספר ספציפי באמצעות חוק מוכתב, ובלבד שנהיה עיקביים לכל אורך הדרך. אבל מדוע דווקא החוק הנ"ל? מדוע להשתמש בפונקציה היוצרת? פשוט משום שיש בזה "הגיון" מסוים: אם נתעקש לדבוק בחוק הפילוג גם במקרה של טורים מתבדרים כפי שעשינו בחשבון הפותח רשומה זו, תנפיק המשוואה המתקבלת (דהיינו \(S=1+xS\)  עבור \(x\) כלשהו) את הפתרון \(S=1/(1-x)\) המתלכד בצורתו עם הפונקציה היוצרת.

מובן שהמשוואה הזו תקפה גם בתוך רדיוס ההתכנסות של הטור שהרי בתחום זה היא מתלכדת ממש עם נוסחת הפיתוח לטור. כך למשל, אם נציב בה את הערך \(x=1/2\) נקבל \(S=2\), שוויון במובן המקובל של המילה (ולא שוויון-E). תוצאה זו מוכרת לנו מפתרון הפרדוקס העתיק מבית מדרשו של זנון: \(1+1/2+1/4+1/8+\cdots=2\).

האם ניתן להשית כללים אקסיומתיים כלשהם על סכימת-E? ובכן, אפשר לנסות, ולקוות שכוונותינו הטובות לא תולכנה אותנו בדרכי תוהו. הבה נניח אם כן את הכללים הבאים:

יהא \(S\)  סכום-E של הטור \(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots\). אז:

1. \(\alpha{S}=\alpha(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots)=\alpha{a}_{0}+\alpha{a}_{1}+\alpha{a}_{2}+\cdots\)
2. \(S-a_{0}=a_{1}+a_{2}+\cdots\)
3. אם \(S_{1}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots\) וכן  \(S_{2}=b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots\) אז \(S_{1}+S_{2}=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots\).

שימו לב:

החוק האסוציאטיבי והחוק הקומוטטיבי במובנם הרחב, המאפשרים לנו לסכם איברים בכל סדר שנרצה, אינם מופיע ברשימה הזו, ולא בכדי. למעשה אין לנו כל חופש לבחור סדר סכימה למעט חריגה קטנה ומוגבלת בדמותה של האקסיומה השלישית. ובפרט: \(a_{1}+b_{1}+a_{2}+b_{2}+\cdots\neq(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots\) למעט המקרה הטריוויאלי בו האברים \({b}\) הם כולם אפסים.

יוצא איפה שאנו מחוייבים תמיד להתיחס לטור המתבדר בכללותו, כמקשה אחת, עד כדי החופש שמאפשרות שלושת האקסיומות. עלינו לראות בטור המתבדר אוביקט מתמטי לכל דבר המקבל ערך מספרי בהתאם לכללים מוגדרים היטב, כל עוד ניתן להכילם עליו, ואז אולי זה כבר לא יראה מוזר כל כך, למשל, שסכום החזקות השלמות של עשר 'מסתכם' למינוס תשיעית.

לדוגמא: ניישם את האקסיומה השנייה על הטור \(S=1-1+1-1+\cdots\) ונקבל את המשוואה \(S=1-S\) שפתרונה \(S=1/2\). (יש בזה "הגיון" מסויים: הטור מתנדנד בין אפס לאחת והממוצע הוא \(1/2\)). שימו לב שזהו גם סכום-E של הטור הגאומטרי עבור ההצבה \(x=-1\). מאידך גיסא, אם ננסה ליישם את אותה אקסיומה בדיוק על הטור המתבדר \(S=1+1+1+\cdots\) נקבל את פסוק השקר \(-1=0\) (או \(\infty=\infty\)) וזה לגמרי לא מפתיע משום ש- \(x=1\) הוא קוטב של הפונקציה היוצרת.

מה עושים במקרה כזה? אחד מהשניים: או שמוצאים דרך עוקפת ומשתדלים לא לעשות שטויות (דוגמא לדרך עוקפת כזו בהמשך), או ש-... בודקים האם ניתן לגייס לטובתנו את פונקציית זטא של רימן, \(\zeta(s)\).


\(\Big]\)במאמר מסוגר שאינו הכרחי להבנת ההמשך (אבל יש בו לתת בידי קורא עם רקע קודם בפונקציות מרוכבות קצת יותר כלים חישוביים): יהא \(s\) מספר מרוכב כלשהו, ותהא \(\zeta^{\star}(s)\) פונקציה המוגדרת באמצעות הטור

\[\zeta^{\star}\left(s\right)\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}n^{-s}.\]

אפשר להוכיח שהטור מימין מתכנס רק לכל \(s\) המקיים \(\text{Re}(s)>1\). פונקצית זטא של רימן \(\zeta(s)\) היא ההמשכה האנליטית של טור זה, הולומורפית בכל המישור המרוכב למעט קוטב פשוט אחד בנקודה \(s=1\), היכן שהיא מנפקת את הטור ההרמוני \(1+1/2+1/3+1/4+\cdots\) (המתבדר כמובן). ומכיוון שמדובר בהמשכה אנליטית, אז בהכרח \(\zeta(s)\equiv\zeta^{\star}(s)\;\forall\;\text{Re}(s)>1\). נוסחאות החישוב עבור \(\zeta(2n)\) ו-\(\zeta(-n)\), באשר \(n\) מספר טבעי, ניתנות ע"י:

\[\zeta\left(-n\right)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}\,,\quad\zeta\left(2n\right)=\left(-1\right)^{n+1}\frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}\,.\]

בנוסחאות אלו \(B_{n}\) מייצג את מספר ברנולי ה-\(n\)-י והוא ניתן לחישוב באמצעות הנוסחא הרקורסיבית

\[B_{n}\,=\,-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}B_{k}\]

וכן \(B_{0}=1\). ובפרט \(\zeta(-2n)=0\) לכל \(n\geq1\) היות ו- \(B_{2n+1}=0\) לכל \(n\geq1\). עוד על פונקצית זטא של רימן, ועל הקשר המעניין שלה למספרי ברנולי, תוכלו לקרוא בפוסט מפורט פרי עטו של גדי אלכסנדרוביץ שפורסם ממש לפני כמה ימים בבלוג המתמטי "לא מדויק", וגם בקישור לספר פרי עטו של אמיליו אליזלדה המופיע בסוף הרשומה.\(\Big[\)

והיה והאפשרות השניה פתוחה בפנינו נוכל להציב את הקוטב הסורר של הפונקציה היוצרת בפונקצית זטא של רימן ולסכום... כך למשל נקבל עבור טור האחדות החיוביות האינסופי (אותו נכשלנו לסכמו-E קודם לכן):  \(1+1+1+\cdots=\zeta(0)=-1/2\). במילים אחרות, 'אינסוף האחדים' מסתכמים באיזשהו אופן למינוס חצי. נכנה את התוצאה המתקבלת סכום-R של הטור (R על שם רימן).

שאלה: בהנחה שניתן לסכם טור מתבדר כלשהו בשתי הסכמות, האם סכום-R שלו בהכרח מתלכד עם סכום-E שלו? ובכן, לא מצאתי בשום מקום הוכחה לכך אבל בהמשך אביא דוגמא חשובה אחת בה שתי הסכמות אכן מתלכדות לתת את אותה התוצאה בדיוק.

זהירות: נתונים שני טורים מתבדרים: האחד מסתכם רק בסכמה אחת, והשני מסתכם רק בסכמה השנייה. במקרה זה לא נוכל לשבצם בחשבון משותף. הנה דוגמא: ראינו שעבור טור האחדות המתחלף \(1-1+1-1+\cdots\stackrel{E}{=}1/2\), בעוד שעבור טור האחדות החיוביות, \(1+1+1+1+\cdots\stackrel{R}{=}-1/2\). ובכן, כל אחד משני הטורים הללו מסתכם אך ורק בסכמה אחת, ובשונה מהסכמה בה מסתכם השני. הבה נערוך חשבון אסור:

\begin{aligned}0&\,=\,\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)\,=\,\left(1-1+1-1+\cdots\right)+\left(1+1+1+1+\cdots\right)\\&\,=\,\left(1+1\right)+\left(-1+1\right)+\left(1+1\right)+\left(-1+1\right)+\cdots\\&\,=\,2+0+2+0+\cdots\\&\,=\,\left(2+2+2+\cdots\right)+\left(0+0+0+\cdots\right)\\&\,=\,2\times\left(1+1+1+\cdots\right)\\&\,=\,-1\,,\end{aligned}

וכצפוי קיבלנו אבסורד.

ועתה אעבור לטור המיוחד שעורר את המוטיבציה לכתוב את הרשומה הזו: מהו סכום-E של כל המספרים הטבעיים מאחד ועד אינסוף? אם נגזור לפי \(x\) את הפיתוח לטור חזקות של הפונקציה היוצרת של הטור הגאומטרי נקבל

\begin{aligned}\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}}&\,=\,1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots\\&\,=\,\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}.\end{aligned}

הציבו עתה \(x=1\) בטור החזקות שבאגף ימין וקבלו את הטור המבוקש. הבה נסמן אותו באות  \(N\). אלא ש- \(x=1\) הוא קוטב של הפונקציה היוצרת המופיעה באגף שמאל, ואנו מוצאים עצמנו שוב בבעיה בבואנו לסכם-E את  \(N\).

כמובן, פתוחה בפנינו הדרך לקבל את סכום-R של הטור:

\[1+2+3+4+\cdots\,=\,\zeta\left(-1\right)\,=\,-\frac{1}{12}\]

(תוכלו לחשב את \(\zeta(-1)=-B_{2}/2\) באמצעות הנוסחא עבור מספרי ברנולי במאמר המסוגר מלמעלה). אבל לא בסכום-R חפצנו אלא בסכום-E. נוכל לעקוף את הבעיה באמצעות שני תימרונים קלים... ראשית, נציג שני הטורים:

\begin{aligned}S&\,=\,1-1+1-1+\cdots\\T&\,=\,1-2+3-4+\cdots\end{aligned}

הטור הראשון מוכר לנו וכבר ראינו שהוא מסתכם-E ל-\(1/2\). את הטור השני נחשב בשתי דרכים. נסתייע באקסיומות הראשונה והשלישית ונקבל:

\begin{aligned}S-T&\,=\,\left(1-1+1-1+\cdots\right)-\left(1-2+3-4+\cdots\right)\\&\,=\,\left(1-1+1-1+\cdots\right)+\left(-1\right)\times\left(1-2+3-4+\cdots\right)\\&\,=\,\left(1-1+1-1+\cdots\right)+\left(-1+2-3+4-\cdots\right)\\&\,=\,\left(1-1\right)+\left(-1+2\right)+\left(1-3\right)+\left(-1+4\right)+\cdots\\&\,=\,0+1-2+3-4+\cdots\\&\,=\,T\,.\end{aligned}

קיבלנו אם כן את המשוואה \(S-T=T\) שפתרונה \(T=S/2=1/4\). מן הסתם, פיתרון זה עבור \(T\) מתקבל מיד גם מהצבת הערך \(x=-1\) בפונקציה היוצרת של הטור, \(f(x)=1/(1-x)^{2}\). עתה נוכל לגשת ולסכום-E את  \(N\):

\begin{aligned}T-N&\,=\,\left(1-2+3-4+5-\cdots\right)+\left(-1\right)\times\left(1+2+3+4+5+\cdots\right)\\&\,=\,\left(1-2+3-4+5-\cdots\right)+\left(-1-2-3-4-5-\cdots\right)\\&\,=\,\left(0-4+0-8+0-12+\cdots\right)\\&\,=\,-4\times\left(1+2+3+4+\cdots\right)\\&\,=\,-4N,\end{aligned}

כלומר  \(T=-3N\), או

\[N\,=\,-\frac{1}{3}\times{T}\,=\,-\left(\frac{1}{3}\right)\times\left(\frac{1}{4}\right)\,=\,-\frac{1}{12}\,.\]

קיבלנו איפה שטור המספרים הטבעיים מסתכם-E למינוס אחד חלקי שתיים עשרה, תוצאה המתלכדת עם סכום-R של הטור.

לשם מה כל התימרונים האלו שהצגנו כאן? האם יש לזה משמעות כלשהי? האם לא כדאי להניח לטורים המתבדרים פשוט... להתבדר? למה כל זה טוב?

תורת השדות הקוונטים ברוכה בטורים אינסופיים מתבדרים, ובפרט בסכום המספרים הטבעיים מאחד ועד אינסוף. לכשמופיעים טורים מתבדרים, הנטייה הראשונית, המובנת והטבעית, היא לזנוח את החשבון בתואנה שהתאוריה חולה והחישובים חסרי משמעות. כמובן שאם במקום הטורים המתבדרים נחליט מאיזושהי סיבה תמוהה לשתול בחישובים את סכומי-E או סכומי-R שלהם נקבל תוצאות סופיות. מה שמדהים הוא שכאשר עושים זאת עבור מודלים ריאלים, מקבלים תוצאות המתלכדות עם הערכים הנמדדים בניסוי עד כדי דיוק בלתי נתפס המגיע ל-14 ספרות אחרי הנקודה. הספרות הבאות בתור נכללות כבר בתחום השגיאה של הניסוי...

QED היא ככל הנראה התורה המדויקת ביותר שעלה בידי הפיזיקאים לנסח, וגם היא משופעת בטורים מתבדרים אותם מחליפים בסכומי-E/R מתאימים על מנת לקבל תוצאות בעלות משמעות. אני מוצא את העובדה שזה עובד מפליאה באמת. יתכן שיש איזושהי סיבה נסתרת מאוד מובנת ומאוד הגיונית לכל ההוקוס-פוקוס הזה, הגם שהיא טרם נמצאה. ויתכן וזוהי פשוט דרכו של הטבע לטפל בהתבדרויות; כלומר במציאות החומרית האובייקטיבית, בעולם החולף הנתון למרותם של חוקי הטבע, כל חשבון המכיל התבדרויות בהכרח מסתכם לכדי מספר סופי וסגור באמצעות סכימה מתאימה. אם כך, האם יתכן שהאינסוף האריתמטי החמקמק כל כך הוא בסופו של דבר רק רוח רפאים שמקורה במגבלות הכרתנו?

המעוניינים בסקירה נאה על השימושים השונים של
פונקציית זטא בפיזיקה התאורטית מוזמנים
לעלעל בפרק המבוא של הספר הנ"ל.